Taschenrechner Online Kostenlos Mit Brüchen

Was ist ein Bruch? Was sind Zähler und Nenner? Was sind echte, unechte und gemischte Brüche? Wie addiert man Brüche? Wie multipliziert bzw. dividiert man Brüche? Dice Beantwortung dieser Fragen und viele Beispiele zum Bruchrechnen finden Sie hier in der Themenwelt Bruchrechnen. Anhand des Bruchrechners können Sie beliebige Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Die Bruchberechnung wird detailliert hergeleitet. Dabei wird u.a. auf das Erweitern und Kürzen von Brüchen oder das gleichnamig Machen zweier Brüche für die Addition eingegangen. Der Kehrbruch bei der Segmentation wird genauso berücksichtigt wie das abschließende Umwandeln eines unechten Bruchs in einen gemischten Bruch.

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Mit Hilfe des Bruchrechners können zwei Brüche über alle vier Grundrechenarten miteinander verknüpft werden. Dabei können sowohl gemeine als auch gemischte Brüche miteinander addiert, subtrahiert, multipliziert bzw. dividiert werden. Alle für die Berechnung der Ergebnisses geeigneten Umformungen der Brüche werden im Ergebnisfenster Schritt für Schritt dargestellt und hergeleitet.

Wählen Sie bitte aus, ob Sie gewöhnliche Brüche oder gemischte Brüche zur Berechnung eingeben möchten. Im Folgenden erhalten Sie weitere Informationen zum Unterschied zwischen gewöhnlichen und gemischten Brüchen.

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Brüche bilden eine besondere Schreibweise für die Division, wobei der oberhalb des Bruchstrichs stehende Zähler durch den unterhalb des Bruchstrichs stehenden Nenner bzw. Teiler geteilt wird. Anhand dieser Schreibeweise kann man beispielswiese die Addition zweier Divisionen und damit dice Add-on zweier Brüche mit Hilfe bestimmter Regeln für das Bruchrechnen durchführen, auf die wir im Weiteren eingehen werden. Zuächst werden hier die Definitionen verschiedener Arten von Brüchen erklärt.

Ein echter Bruch stellt den Bruchteil eines Ganzen dar. Der unten stehende Nenner gibt an, in wie viele Teile das Ganze geteilt worden ist. Der oben stehende Zähler gibt an, wie viele Teile davon gemeint sind. So kann man sich beispielsweise ¾, also drei Viertel als drei Stücke Pizza vorstellen, wobei die Pizza insgesamt in vier Stücke, also in vier Viertel aufgeteilt wurde.

Beispiel

3 four ist ein echter Bruch, denn 3 ÷ 4 = 0,75 ist kleiner 1, also ein echter Bruchteil eines Ganzen.

Ein unechter Bruch liegt vor, wenn der Betrag des Zählers größer oder gleich dem Nenner ist. Dann ist das Ergebnis nicht mehr ein Bruchteil eines Ganzen, sondern größer gleich eins.

Beispiel

5 4 ist ein unechter Bruch, denn 5 ÷ four = i,75 ist größer i, as well kein Bruchteil eines Ganzen.

Ein gemeiner Bruch, auch gewöhnlicher Bruch genannt, lid dice Darstellung Zähler-Bruchstrich-Nenner.

Beispiel

3 4 oder 5 4 sind gemeine bzw. gewöhnliche Brüche.

Ein gemischter Bruch, auch gemischte Zahl genannt, setzt sich aus einer ganzen Zahl und einem gemeinen Bruch zusammen. Dabei werden dice ganze Zahl und der Bruch addiert. Zum Beispiel ist der gemischte Bruch 2¼ = 2 + ¼. Während sowohl der echte als auch der unechte Bruch gewöhnliche bzw. gemeine Brüche sind, ist der gemischte Bruch, wie bereits beschrieben, die Zusammensetzung einer ganzen Zahl und eines gemeinen Bruchs, welche miteinander addiert werden. Einen unechten Bruch kann human being auf diese Weise aufspalten in seinen ganzzahligen Anteil und dem verbleibenden echten Bruch. Beispielsweise kann der unechte Bruch 3/ii aufgesplittet werden in 1 und ½, also zum gemischten Bruch one½ umgeformt werden.

Beispiel

1 1 4 ist ein gemischter Bruch.

Einen Bruch, dessen Nenner 10, 100, 1.000 usw. ist, likewise einen Bruch, dessen Nenner eine Zehnerpotenz bildet, nennt man Dezimalbruch (Zehnerbruch). In vielen Fällen kann man einen Bruch durch Erweitern oder Kürzen zu einem Dezimalbruch umformen, sofern die Umformung zu einem Nenner in Zehnerpotenz führt. Jeder Dezimalbruch kann auch in eine Dezimalzahl, also eine "Kommazahl" umgeformt werden und umgekehrt. Beispielsweise sind 43/100 = 0,43.

Beispiel

iii 100 oder 54 1000 sind Dezimalbrüche.

Hier noch ein Video zu echten, unechten und gemischten Brüchen von Lehrer Schmidt. Im Video werden dice Begriffe für die verschiedenen Brüche genau erklärt. Ab iv:28 zeigt Lehrer Schmidt, wie echte Brüche gekürzt werden. Ab 5:45 werden unechte Brüche zu gemischten Brüchen umgeformt und ab 9:23 werden gemischte Brüche zu unechten Brüchen umgerechnet.

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Umformungen von Brüchen, as well Änderungen von Brüchen ohne deren Wert (Bruchzahl) zu ändern, sind meist dice Voraussetzung dafür, dass mit Brüchen gerechnet werden kann. Beispielsweise ist es zur Addition und zur Subtraktion von Brüchen notwendig, die beiden Brüche zunächst gleichnamig zu machen, was wiederum das Erweitern oder Kürzen der Brüche erforderlich macht. Diese und weitere Umformungen werden im Folgenden erläutert. Dice hier vorgestellten Umformungen werden auch im Ergebnisfenster des Bruchrechners hinter den entsprechenden Info-Buttons detailliert und passend zur jeweiligen Bruchrechnung erklärt.

Brüche erweitert homo, indem homo sowohl den Zähler als auch den Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert. Dies dient der Umformung eines Bruchs, bei dem der Wert des Bruchs, besides die Bruchzahl nicht verändert wird. Denn der vom Bruch dargestellte Anteil wird nur in kleinere Abschnitte unterteilt. Die Einteilung wird daher verfeinert. Eine Erweiterung dient zum Beispiel bei einer Addition zweier Brüche dazu, den kleineren Nenner des einen Bruchs zusammen mit seinem Zähler and so zu vervielfachen, dass er dem größeren Nenner des anderen Bruchs gleicht.

Beispiel: Erweitern von Brüchen

• Um den Bruch 3 four um v zu erweitern, werden Zähler und Nenner mit 5 multipliziert und man erhält 3 × v four × 5 = xv 20 .
• Der Bruch three 4 wurde besides mit five erweitert zu 15 xx , wobei dice beiden Brüche den gleichen Wert beibehalten.

And then, wie homo Brüche erweitern kann, kann man sie auch kürzen: Brüche kürzt man, indem human sowohl den Zähler als auch den Nenner durch die gleiche Zahl dividiert. Der Wert des Bruchs bzw. die Bruchzahl wird dadurch nicht verändert, denn der vom Bruch dargestellte Anteil wird nur in größere Abschnitte unterteilt. Die Einteilung wird too vergröbert. Auch das Kürzen dient z.B. dem im Weiteren beschriebenen gleichnamig machen für die Add-on und Subtraktion von Brüchen. Auch möglicherweiser große Zähler und Nenner im Ergebnis nach der Multiplikation zweier Brüche können durch Kürzen zu kleineren Werten umgeformt werden.

Beispiel: Kürzen von Brüchen

• Um den Bruch 10 40 um 5 zu kürzen, werden Zähler und Nenner durch v dividiert und human erhält 10 ÷ 5 40 ÷ 5 = two 8
• 10 40 wurde also mit 5 gekürzt zu ii eight , wobei beide Brüche den gleichen Wert beibehalten.
• 2 8 könnte sogar nochmals um 2 gekürzt werden, then dass man 1 iv erhält, was dann nicht weiter kürzbar ist.

Im Folgenden ein kurzes Video zum Kürzen und Erweitern von Brüchen von Lehrer Schmidt. Im Video wird bis 1:59 das Erweitern von Brüchen erklärt. Ab ii:00 folgt das Kürzen von Brüchen und ab three:xxx erklärt Lehrer Schmidt, wozu man das Kürzen und Erweitern von Brüchen braucht.

Um im Laufe einer Berechnung mit möglichst kleinen, as well handlichen Zahlen weiter zu rechnen, sollten die Brüche auch möglichst stark gekürzt werden. Dies erzielt human, indem der Zähler und den Nenner des Bruchs durch ihren größten gemeinsamen Teiler (ggT) geteilt werden.

Beispiel: Kürzen mit größtem gemeinsamen Teiler

• Im obigen Beispiel mit dem Bruch ten 40 ist der größte gemeinsame Teiler von ten und dice 40 die 10.
• Man kann also den Bruch gleich mit 10 kürzen, um abschließend den nicht weiter kürzbaren Bruch ¼ zu erhalten. Dann haben Zähler und Nenner bis auf die i keinen weiteren gemeinsamen Teiler mehr.

Nun noch ein Video zum größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Lehrer Schmidt. Nach einer Einleitung zum ggT, folgen ab 0:43 mehrere Beispiele zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers anhand der beiden Teilermengen von Zähler und Nenner. Ab 4:42 wird gezeigt, wie der ggT alternativ über die Primfaktorzerlegung berechnet werden kann.

Gemeine Brüche, die den gleichen Nenner haben, heißen gleichnamig. Werden Brüche so erweitert, dass sie danach dice gleichen Nenner haben, so nennt man das gleichnamig machen. Zwei Brüche lassen sich zum Beispiel gleichnamig machen, indem man den einen Bruch mit dem Nenner des jeweils anderen erweitert. Man multipliziert also sowohl den Zähler als auch den Nenner des einen Bruchs mit dem Nenner des jeweils anderen Bruchs. Da hierdurch die beiden Nenner immer miteinander multipliziert werden, können die Werte der erweiterten Brüche oft sehr groß werden, was die weitere Berechnung aufwändiger machen könnte. Beim praktischen Rechnen sollte daher zum gleichnamig Machen der kleinste gemeinsame Nenner (Hauptnenner) der Brüche bestimmt werden. Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner, welches oft kleiner als dice Multiplikation der beiden Nenner ist. Darauf gehen wir im nächsten Abschnitt noch genauer ein.

Das gleichnamig Machen dient zum Beispiel der Improver und Subtraktion von Brüchen: Sind die beiden Brüche gleichnamig, können die Zähler der beiden Brüche addiert bzw. subtrahiert werden, während der bei beiden Brüchen gleiche Nenner unverändert bleibt.

Beispiel: Gleichnamig machen von Brüchen

• Die Brüche 1 6 und 3 8 sollen gleichnamig gemacht werden.
• Erweitern des linken Bruchs ane 6 mit 8, too mit dem Nenner des rechten Bruchs.
• Erweitern des rechten Bruchs 3 8 mit dem Nenner 6 des linken Bruchs.
• So erhält human dice gleichnamigen Brüche viii 48 und eighteen 48 .

Um beim gleichnamig Machen im Laufe einer Berechnung mit möglichst kleinen, handlichen Zahlen weiter zu rechnen, sollte ein möglichst kleiner gemeinsamer Nenner bestimmt werden. Dieser, auch Hauptnenner genannte Nenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden Nenner.

Beispiel: Gleichnamig mit kleinstem gemeinsamen Nenner

• Im obigen Beispiel mit den Brüchen ane 6 und three 8 ist das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner vi und die 8 die 24.
• Homo kann likewise den linken Bruch nur mit 4, statt z.B. mit 8 erweitern sowie den rechten Bruch mit 3 statt mit z.B. 6 erweitern.
• So erhält human die gleichnamigen Brüche 4 24 und 9 24 mit 24 als den kleinsten gemeinsamen Nenner.

Ergänzend zum vorherigen Abschnitt ein Video zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) von Lehrer Schmidt. Zunächst wird die Berechnung des kgV anhand der Vielfachen jedes einzelnen Nenners erklärt. Ab 5:07 folgt die Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen anhand der Primfaktorzerlegung, welche sich besonders zur Berechnung des KgV bei etwas größeren Zahlen eignet.

Den Kehrwert eines Bruches erhält man, indem man den Zähler und den Nenner des Bruches vertauscht. So erhält homo den Kehrbruch. Möchte man einen Bruch durch einen anderen Bruch teilen, and then kann human being auch aus einem Bruch den Kehrbruch bilden und die beiden Brüche dann miteinander multiplizieren.

Beispiel: Bruchrechnen mit Kehrbruch

3 4 ÷ one 3 = 3 4 × 3 1

Zur Berechnung der Dezimalzahl zu einem Bruch, kann einfach der Zähler duch den Nenner geteilt werden.

Beispiel: Umrechnung Bruch zu Dezimalzahl

3 iv = three ÷ four = 0,75

Ein unechter Bruch kann in seinen ganzzahligen Anteil und dem verbleibenden echten Bruch zerlegt werden. Der ganzzahlige Anteil ist der ganzzahlige Anteil der Division von Zähler durch Nenner. Den verbleibenden echten Bruch erhält homo durch die Division mit Rest (Modulo-Rechnung) von Zähler durch Nenner.

Beispiel: Unechten Bruch zu gemischten Bruch umformen

• v iv = 5 ÷ 4 = 1,25 ⇒ Der ganzzalige Anteil des gemischten Bruchs ist 1
• 5 modulo iv = 0,25 ("Der Rest von 5 ÷ four ist 0,25")
• 0,25 = 25 100 = i 4 ⇒ Der echte Bruch des gemischten Bruchs ist ¼.
• Der gemischte Bruch ist 1 i 4 .

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Brüche werden addiert, indem sie zunächst gleichnamig gemacht werden. Dice Zähler werden addiert, während der gemeinsame Nenner unverändert bleibt.

3 4 + ane 3 = 9 12 + 4 12 = 9+4 12 = 13 12 = 1 1 12

Eine ausführlichere Beschreibung der Regeln für dice Addition von Brüchen und ein umfassendes Beispiel finden Sie in unserem Artikel zum Thema Brüche addieren.

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Brüche werden subtrahiert, indem sie zunächst gleichnamig gemacht werden. Dice Zähler werden subtrahiert, während der gemeinsame Nenner unverändert bleibt.

3 4 − 1 three = 9 12 − 4 12 = 9−four 12 = five 12

Eine ausführlichere Beschreibung der Regeln für die Subtraktion von Brüchen und ein umfassendes Beispiel finden Sie in unserem Artikel zum Thema Brüche subtrahieren.

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Brüche werden multipliziert, indem jeweils die beiden Zähler und die beiden Nenner miteinander multipliziert werden.

3 4 × 1 iii = 3×1 4×3 = iii 12

Eine ausführlichere Beschreibung der Regeln für die Multiplikation von Brüchen und ein umfassendes Beispiel finden Sie in unserem Artikel zum Thema Brüche multiplizieren.

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Brüche werden dividiert, indem der eine Bruch mit dem Kehrwert des anderen Bruchs multipliziert wird.

3 four ÷ 1 3 = three 4 × 3 1 = 3×iii 4×1 = 9 iv

Eine ausführlichere Beschreibung der Regeln für die Division von Brüchen und ein umfassendes Beispiel finden Sie in unserem Artikel zum Thema Brüche dividieren.

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Der Bruchrechner beherrscht alle hier vorgestellten Grundrechenarten zur Berechnung von Brüchen. Dabei ordnet der Bruchrechner in einem ersten Schritt zunächst die eventuell vorhandenen negativen Vorzeichen der eingegebenen Brüche. Sollten gemischte Brüche eingegeben worden sein, formt der Bruchrechner diese dann in ungemischte Brüche um. Im nächsten Berechnungsschritt werden die Brüche weitestgehend durch den Rechner gekürzt.

Sind die Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, macht der Bruchrechner die beiden Brüche gleichnamig und addiert bzw. subtrahiert dann die Zähler. Falls eine Multiplikation bzw. Division der beden Brüche erfolgen soll, führt der Rechner dies sowohl für den Zähler als auch für den Nenner durch, wobei bei der Division zunächt der Kehrbruch einer der beiden Brüche erzeugt wird.

Das so berechnete Ergebnis ist bei einigen Berechnungen noch ein unechter Bruch. Dieser Bruch wird vom Bruchrechner schließlich zu einem gemischten Bruch umgewandelt.

1. Negative Vorzeichen sortieren

In diesem Schritt entfernt der Bruchrechner die negativen Vorzeichen der Brüche mit sowohl negativem Zähler also auch negativem Nenner. Zudem macht der Rechner bei nur negativem Nenner stattdessen den jeweiligen Zähler negativ.

• Wenn bei Brüchen sowohl der Zähler also auch der Nenner negativ sind, können die beiden negativen Vorzeichen entfernt werden. Denn die Division zweier negativer Werte führt genauso zu einem positiven Erghenis, wie die Sectionalization zweier positiver Werte ("Minus geteilt durch Minus ergibt Plus").
• Wenn bei Brüchen nur der Nenner negativ ist, kann das negative Vorzeichen stattdessen vor den Zähler gesetzt werden. Denn die Division eines positiven durch einen negativen Wert führt ebenso zu einem negativen Ergebnis, wie umgekehrt dice Division eines negativen Werts durch einen positiven Wert.

Diese Umformungen dienen einer besseren Ordnung und damit für dice folgenden Berechnungen einer besseren Übersichtlichkeit.

1 v 8 + 2 2 4

ii. Gemischte Brüche in ungemischte umwandeln

Die bisher gemischten Brüche werden vom Bruchrechner hier zu ungemischten Brüchen umgeformt, d.h. die ganze Zahl vor dem Bruch wird zum dazugehörigen Bruch addiert:

• Die ganze Zahl zum links stehenden Bruch, besides die 1 wird zunächst zu 8/8 umgewandelt und dann zum dazugehörigen Bruch addiert.
• Die ganze Zahl zum rechts stehenden Bruch, too die ii wurde zunächst zu 8/4 umgewandelt und dann zum dazugehörigen Bruch addiert.

13 8 + 10 4

3. Brüche kürzen

Hier wird der rechte Bruch durch den Bruchrechner gekürzt. Um im weiteren Verlauf mit möglichst kleinen Zahlen weiter zu rechnen, sollten die Brüche möglichst gekürzt werden, indem der Zähler und den Nenner jedes Bruchs durch ihren größten gemeinsamen Teiler geteilt werden.

Der linke Bruch kann nicht gekürzt werden, denn dessen Zähler und Nenner haben bis auf dice Eins keinen gemeinsamen Teiler.

Der größte gemeinsame Teiler des rechten Bruchs, also der größte gemeinsame Teiler vom Zähler 10 und vom Nenner iv beträgt 2. Daher kann man sowohl den Zähler als auch den Nenner zum Kürzen des Bruchs durch 2 teilen: 10 four = v 2

xiii 8 + v two

4. Brüche gleichnamig machen

Zur Addition der beiden Brüche, macht der Bruchrechner diese gleichnamig. Dazu wird hier das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner berechnet. Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden Nenner viii und 2 beträgt 8.

• Der linke Bruch wird daher um 1 erweitert, as well der Zähler 13 mit i multipliziert und der Nenner 8 mit ane multipliziert, damit der Nenner den Wert eight erhält.
• Der rechte Bruch wurde um 4 erweitert, also der Zähler 5 mit 4 multipliziert und der Nenner 2 mit iv multipliziert, damit auch hier der Nenner den Wert 8 erhält.

13 eight + 20 viii

5. Gleichnamige Brüche addieren

Dies führt zum Zwischenergebnis der eingegebenen Bruchaufgabe. Hierzu addiert der Bruchrechner die Zähler der beiden gleichnamigen Brüche. Der Nenner bleibt dabei unverändert.

thirteen + twenty viii = 33 8

half-dozen. Ergebnis (Abschließend unechte Brüche zu gemischten umrechnen)

Dies ist schließlich das Ergebnis der eingegebenen Bruchrechenaufgabe. Hier rechnet der Bruchrechner den unechten Bruch des Zwischenergebnisses abschließend in den entsprechenden gemischten Bruch um. Dieser gemischte Bruch wird durch Segmentation mit Rest (Modulo-Rechnung) von Zähler durch Nenner des unechten Bruchs berechnet:

33 ÷ 8 = iv Rest 1

Also besteht der gemischte Bruch aus dem ganzzahligen Anteil 4 und dem restlichen Anteil von 1 8 .

= 4 1 8

Source: https://www.smart-rechner.de/bruchrechnen/rechner.php

Posted by: rodriguenother44.blogspot.com

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